Matematyka piękna, czyli nie tylko matematyka jest piękna, ale piękno jest matematyczne!

Ileż westchnień u uczniów budzi matematyka ... Po co mi to ? Przecież w życiu wystarczy umieć liczyć i znać procenty. Takie słowa płyną  od rzeszy młodych ludzi,  w tym zainteresowanych własną pięknością dziewcząt. Tylko dlaczego kogoś uważamy za pięknego ?

Bardzo  ciekawe pytanie.

 Spróbujmy zrozumieć! 

Zacznijmy od ... królików. Od zagadki jaką zadał w swojej książce "Liber abaci" Leonardo z Pizy, syn Guglielmo Bonacci, żyjący na przełomie XXII i XXIII wieku. Dziś znamy go jako " filius" (syn) Bonacci, czyli Fibonacci :).

Oto i ona: 

"A certain man had one pair of rabbits together in a certain enclosed place, and one wishes to know how many are created from the pair in one year when it is the nature of them in a single month to bear another pair, and in the second month those born to bear also. Because the abovewritten pair in the first month bore, you will double it; there will be two pairs in one month. One of these, namely the first, bears in the second month, and thus there are in the second month 3 pairs; of these in one month two are pregnant, and in the third month 2 pairs of rabbits are born, and thus there are 5 pairs in the month; ..." Z   Fibonacci's Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonardo Pisano's Book of Calculation, L. E. Sigler. Springer-Verlag, 2003. pp. 404-405.

Leonardo z Pizy, Fibonacci.

Pewien człowiek miał parę królików w miejscu ogrodzonym. Chce wiedzieć, ile będzie miał par królików po roku. Wiadomo, ze dorosłe króliki dają kolejną parę już po miesiącu, a te narodzone po dwóch miesiącach też dają nową. Ponieważ wymieniona para po miesiącu daje następną, będą już dwie pary królików. Jedna z nich, ta pierwsza, po dwóch miesiącach też rodzi i dlatego jest wtedy już trzy pary królików, z których u dwóch jest  ciąża. Po trzech miesiącach rodzą się dwie pary królików i mamy już razem pięć par. ( Tłumaczenie z angielskiego ucznia Sokratesa)

Jak to zrozumieć ? Najlepiej graficznie zobaczyć. Zmieńmy odrobinę początek zagadki. Niech wszystko zacznie się od pary małych królików.

Przez pierwszy miesiąc para dojrzewa. W drugim jest ciąża i na początku trzeciego królicze maluszki. Przez trzeci miesiąc u pierwszej pary znowu jest  ciąża, a maluszki dojrzewają. W czwartym miesiącu mamy już dwie dojrzałe pary i maluszki. Te dojrzałe rodzą w piątym maluszki, a jedna para zdąży dorosnąć.

  Młode króliki zostały sfotografowane zaraz po urodzeniu. Są bezwłose i różowe!

Drzewko rozmnażających się królików. (Autor US.)

Zobaczmy to jeszcze raz. 

Króliki Fibonacciego.(Autor US)

Jaka reguła rządzi liczbą królików? W danym miesiącu są wszystkie króliki z poprzedniego miesiąca, bo zakładamy, ze nie chorują i żyją. Dochodzą maluszki. Ile jest urodzeń? Tyle ile było par królików dwa miesiące wcześniej, bo wszystkie tamte króliki są nadal zdolne do rozrodu lub już są zdolne !
Matematycznie reguła wygląda następująco:


F(n) = F(n-1) + F(n-2) .


Czyli, chcesz wiedzieć ile królików będzie w danym miesiącu? Dodaj do siebie ile było królików dwa miesiące wcześniej i miesiąc wcześniej!

Tylko co to ma wspólnego z pięknem ? Przechodzimy teraz do sedna. Króliki pomogły nam zobaczyć ciąg liczb mający tę własność, że oprócz dwóch pierwszych, każda jest jest sumą dwóch poprzednich.
Tak należy rozumieć wzór matematyczny napisany powyżej.
F(n) to n-ty wyraz ciągu. Jest on równy sumie wyrazu o numerze o jeden mniejszym i wyrazu o numerze o dwa mniejszym od swojego. Jak te liczby wyglądają?

Ciąg Fibonacciego. (Autor US.)

Dlaczego  tworzą spiralę? Bo są związane ze spiralami ! Zobaczmy kilka spiral wynikających z tego ciągu.

Spirale Fibonacciego. (Autor US.)

Czy nie są jakoś naturalne  i ... piękne?
Zastały  wygenerowane przy pomocy programu jaki napisałem w MSWLogo. Ale jak spirala powstaje z ciągu liczb?  Najpierw musimy ciąg zamienić na zbiór kwadratów na płaszczyźnie.

Geometryczna interpretacja ciągu Fibonacciego.(Autor US.)

Kwadraty odpowiadające ciągowi Fibonacciego.(Autor US.)

Każdy z kwadratów ma bok równy liczbie jednostek równej jakiemuś wyrazowi  ciągu.
Już od trzeciego kwadratu każdy przylega do dwóch poprzednich. To właśnie daje "przeniesienie" rekurencyjnej reguły tworzenia następnych wyrazów na ciąg kwadratów tym razem.
By móc zobaczyć spiralę, musimy jednak te figury ułożyć w sposób bardziej równomierny wobec inicjujących kwadratów.
Teraz możemy zacząć rysować spiralę. Będzie się ona składała z ćwiartek okręgów wyciętych przez poszczególne kwadraty. Rysujemy je tak, by powstała całość.
Jej Spiralna  Piękność zaczęła się właśnie wić ...
Jej ruch odpowiada ruchowi wskazówek zegara.
Jeśliby narysować lustrzane odbicie, dostalibyśmy odwrotnie wijącą się spiralę.

Symetryczne spirale Fibonacciego. (Autor US.)

Lustrzane spirale.(Autor US.)

Dlaczego tak bardzo przejmować się jakąś spiralą? :) Rzecz w tym, że spiralę Fibonacciego odnajdujemy wszędzie! Zacznijmy od galaktyk spiralnych. Poniżej porównajmy zdjęcie NASA jednej z nich z wykreowaną prze obrót spirali ... sztuczną galaktyką.

Porównanie galaktyki spiralnej do obrazu uzyskanego przez nałożenie się  obracających się spiral Fibonacciego. (Autor US)

Fibonacci w uchu. (Autor  US.)

Odległe światy, a co z przyrodą lub ludzkim ciałem? Tu też nie brak wijących się  piękności.

Przyjrzyjmy się ludzkiemu uchu: Skąd ono wie jak dopasować się do matematycznej krzywej?

A słonecznik? Ziarenka układają się się wzdłuż spiral  Fibonacciego! Nie tylko to, ilość spiral odpowiada kolejnym liczbom ciągu. Tym razem 21 i 34.  Zamiast spiral Fibonacciego, zostały użyte tak zwane "złote" spirale, których prezentowane w artykule krzywe Fibonacciego są przybliżeniami.

Spirale z ziaren słonecznika. Trzydzieści cztery w prawo i dwadzieścia jeden w lewo! Liczby Fibonacciego.(Autor US.)

To oczywiście nie wszystko. Oto inne przykłady "spiralenia" przez przyrodę.
Bardzo ładnie pokazuje je klip Cristobala Vila.

Czy to cała tajemnica? Nie! Dopiero początek drogi. Kolejny kroczek w następnym artykule:).